境界要素解析方法、及び境界要素解析プログラム
【課題】解析対象の対称性を利用した解析を行うに際して、対称性の多様性に対しても対応可能で、効率的な解析を行うことができる境界要素解析方法及び境界要素解析プログラムを提供する。
【解決手段】ステップＳ１０１で入力した境界要素解析に使用する各種データを、ステップＳ１０２で記憶する。その際、少なくとも、解析対象の境界要素を定義する境界要素定義情報と、境界要素の状態量毎に定義された境界要素を識別する境界要素識別情報を対応付けた状態量情報を記憶する。ステップＳ１０３では、入力された各種データを利用して、定義された各境界要素上にある要素点における境界値を変数とする離散化された境界積分方程式を生成する。次いで、ステップＳ１０４で、生成された境界積分方程式に入力された境界条件を代入し、未知数を整理して連立方程式を得る。そして、得られた連立方程式を解いて未知数の値を求める。
【解決手段】ステップＳ１０１で入力した境界要素解析に使用する各種データを、ステップＳ１０２で記憶する。その際、少なくとも、解析対象の境界要素を定義する境界要素定義情報と、境界要素の状態量毎に定義された境界要素を識別する境界要素識別情報を対応付けた状態量情報を記憶する。ステップＳ１０３では、入力された各種データを利用して、定義された各境界要素上にある要素点における境界値を変数とする離散化された境界積分方程式を生成する。次いで、ステップＳ１０４で、生成された境界積分方程式に入力された境界条件を代入し、未知数を整理して連立方程式を得る。そして、得られた連立方程式を解いて未知数の値を求める。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【０００１】
本発明は、コンピュータを用いて境界要素解析を行う境界要素解析方法、及び境界要素解析プログラムに関する。
【背景技術】
【０００２】
計算機性能の飛躍的向上により、従来模型や実機を用いていた実験を数値解析手法によるシミュレーションに置き換える動きが盛んになっている。これに伴い、要求される解析の規模とスピードは計算機の進歩をさらに上回る速度で増大している。
【０００３】
数値解析手法のうち、境界要素法は応力場、電場、磁場、腐食場などの解析に有利であり、これまでにも多くの使用例がある。通常の境界要素法に従えば、支配方程式は境界積分方程式に変換される。すなわち、境界を複数の要素に離散化し、各要素上にある要素点における境界値を変数とした（式１）のような離散化された境界積分方程式が得られる。
【０００４】
【数１】
【０００５】
ここで、［Ｈ］及び［Ｇ］は、解析場の幾何的および材料的条件で決まるマトリックスである。また、｛ｕ｝及び｛ｑ｝は、境界値を表す。例えば応力解析の場合、｛ｕ｝が変位、｛ｑ｝が表面力となり、電場解析の場合、｛ｕ｝が電位、｛ｑ｝が電流密度となる。
【０００６】
（式１）に境界条件を代入し、未知数を整理すると、（式２）のような連立方程式が得られる。
【０００７】
【数２】
【０００８】
ここで、｛ｘ｝及び｛ｂ｝は、それぞれ未知ベクトル及び定数ベクトルである。未知数の数は要素点の数に対応する。幾何学的、材質的変化の極めて多い実際の複雑構造物等の解析を行うためには、膨大な数の要素が必要となり、このような大規模な解析においては、未知数の数も膨大となる。
【０００９】
一般に、解析の対象となる工業製品や各種構造物等においては、形状および境界条件に対称性をもつものが少なくない。与えられた問題が対称な問題であれば、対称性を利用した効率的な離散化が可能となる。ここで、対称な問題とは物体の形状及び境界条件に関して、対称軸もしくは対称面が存在する問題である。対称な位置にある要素点の境界値は同じ値になるので、数値解析を行うに際して、この対称性を利用できれば、未知数の数を大幅に減じることができる。
【００１０】
解析対象の対称性を考慮したモデル化を行って、境界要素解析の効率化を図ったものは、例えば特許文献１、被特許文献１に示されている。
【００１１】
しかし、対称には、面対称、逆対称、軸対称、ヘリカル対称、ショートケーキ対称、それらが複合したもの等があり、対称問題は多様なものとなる。対称性が多様であると、鏡像の生成法、生成すべき鏡像の数等が個々の対称の場合で異なるために、それぞれの場合に対してプログラムを構成しなければならない。さらに、実際の解析対象は、複数種類の対称が混在している場合もあり、このような対称性混在の問題の場合をも考えると、対応すべきケースの数は増大し、プログラムの保守および拡張性の点で大きな問題点となる。
【００１２】
【特許文献１】特開平９−２５１４８１号公報
【非特許文献１】材料と環境、Vol.47，No.３，P.156-163（1988）
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【００１３】
本発明は、上記事情に鑑みなされたもので、解析対象の対称性を利用した解析を行うに際して、対称性の多様性に対しても対応可能で、効率的な解析を行うことができる境界要素解析方法及び境界要素解析プログラムを提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【００１４】
本発明の境界要素解析方法は、コンピュータを用いて境界要素解析を行うものであって、前記境界要素解析に使用するデータを入力するデータ入力ステップと、前記データ入力ステップで入力したデータを記憶するデータ記憶ステップと、前記データ記憶ステップで記憶したデータに基づき、離散化された境界積分方程式を生成する方程式生成ステップと、前記境界積分方程式に前記データ入力ステップで入力された境界条件を代入後、前記境界積分方程式の未知数を演算する解析ステップとを備え、前記データ記憶ステップは、少なくとも、解析対象の境界要素を定義する境界要素定義情報と、前記境界要素の状態量に対して当該状態量を有する１又は複数の前記境界要素を識別する境界要素識別情報を関連付けた状態量情報と、を記憶するものであり、前記方程式生成ステップは、前記状態量情報で定義された数の状態量を有する前記境界積分方程式を生成するものである。
【００１５】
本発明によれば、未知数を減少させた境界積分方程式を簡単に生成することができ、未知数を求めるための演算量を減少させることができる。また、解析対象の対称性の多様性に対しても対応可能で、効率的な解析を行うことができる。
【００１６】
本発明の境界要素解析方法は、前記方程式生成ステップが、境界要素識別情報ｉ（ｉ＝１〜Ｌ，Ｌはソース点の総数であり、前記状態量情報の数Ｎｇ以上であって定義された境界要素の数以下の任意の数）を持つ境界要素をソース点とし、前記状態量情報の各状態量を識別する状態量識別情報ｋ（ｋ＝１〜Ｎｇ）に対応付けられた境界要素それぞれを観測点とした時の、解析対象の形状によって定まる係数値の和を、前記境界要素定義情報及び前記状態量情報を参照して演算するステップと、前記求めた和をｉ行ｋ列の係数値とするＬ行Ｎｇ列の係数マトリックスを生成するステップを含み、前記Ｌ行Ｎｇ列の係数マトリックスを前記境界積分方程式の係数マトリックスとするものを含む。
【００１７】
本発明によれば、記憶した境界要素定義情報及び状態量情報を参照して、同様の演算を繰り返し行うことにより、境界積分方程式の係数マトリックスの係数値を求めることができ、解析演算を効率的に行うことができる。
【００１８】
なお、このような処理によって求めた係数値を有する境界積分方程式は、マトリックス表示を用いないで記述すると、次の（式３）に示すようなものとなる。なお、ここでＬはソース点を走査させる要素数（要素のサブセット）、Ｎｇは総状態量数、Ｓｋは状態量ｋを持つ境界要素の集合を表し、ｕ＊、ｑ＊はポテンシャル、フラックスの状態量を表す。
【００１９】
【数３】
【００２０】
本発明の境界要素解析プログラムは、上記した境界要素解析情報における各ステップを、コンピュータを用いて実行させるためのプログラムである。
【発明の効果】
【００２１】
以上の説明から明らかなように、本発明によれば、解析対象の対称性を利用した解析を行うに際して、対称性の多様性に対しても対応可能で、効率的な解析を行うことができる境界要素解析方法及び境界要素解析プログラムを提供することができる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００２２】
以下、本発明の実施の形態について、図面を用いて説明する。図１は、本発明の実施の形態の境界要素解析方法の概略フローを示す図である。図１に示す各ステップは、所定のプログラムがインストールされたコンピュータによって実行される。なお、使用するコンピュータは、スタンドアローンのコンピュータでも、クライアント／サーバ形式のコンピュータでもよく、また、特別の周辺機器、機能等の付加も必要としない。したがって、通常のコンピュータを利用できるので、コンピュータの構成については説明を省略する。
【００２３】
ステップＳ１０１では、境界要素解析に使用する各種データを入力する。入力するデータには、境界要素を定義するための節点に関する情報、各境界要素を定義する節点を識別する情報を含む境界要素に関する情報、各境界要素が持つ状態量に関する情報、境界条件、解析対象固有の定数データ、解析対象の各変数（状態量を含む。）相互間の関数等が含まれる。
【００２４】
ステップＳ１０２では、ステップＳ１０１で入力した各種データを記憶する。ここでは、少なくとも、解析対象の境界要素を定義する境界要素定義情報と、境界要素の状態量毎に定義された境界要素を識別する境界要素識別情報を対応付けた状態量情報が記憶される。記憶されるデータの内容、形式等については後述する。
【００２５】
ステップＳ１０３では、入力された各種データを利用して、定義された各境界要素上にある要素点における境界値を変数とする離散化された境界積分方程式を生成する。ここで生成される境界積分方程式は、状態量情報で定義された数の状態量を変数として有するものである。生成方法の詳細については後述する。
【００２６】
ステップＳ１０４では、生成された境界積分方程式に入力された境界条件を代入し、未知数を整理して連立方程式を得る。そして、得られた連立方程式を解いて未知数の値を求める。このステップＳ１０４の処理は、従来の境界要素解析と同様であるので説明を省略する。ただし、生成された境界積分方程式の状態量の数が、従来の解析対象の対称性を考慮しない解析方法では、定義した境界要素の数であるのに対し、この実施の形態の解析方法では、定義した状態量の数であるので、解析のための計算量は大きく減少する。
【００２７】
次に、図１のステップＳ１０２で記憶されるデータの内容、形式について説明する。図４に、この実施の形態の境界要素解析方法における入力データのデータ構造の一例を示す。図４に示すように、境界値およびその関数が表す量を状態量として定義する。そして、定義した状態量を識別する状態量識別情報（状態量ＩＤ）と境界条件、及びその状態量を有する境界要素（構成要素）が対応付けられ、状態量情報１として記憶される。
【００２８】
境界要素は、それぞれを識別する境界要素識別情報（要素ＩＤ）とその境界要素を構成する節点（構成節点）及びその境界要素の形状によって定義され、境界要素情報２として記憶される。さらに、節点は、それぞれを識別する節点識別情報（節点ＩＤ）とその座標が対応付けられ、節点情報３として記憶される。したがって、境界要素情報２と節点情報３によって境界要素の形状データを認識することができる。
【００２９】
図５に、状態量情報の一例を示す。図５は、状態量ＩＤと構成要素との関係のみを示したものであり、状態量ＩＤ（この例では状態量識別番号ｋ）と、要素数と、構成要素を対応付けたテーブル構成となっている。なお、図５において、要素数は、その状態量ＩＤを有する構成要素の数を意味し、構成要素として記述したＰ１、Ｐ２等は、要素ＩＤを示す。
【００３０】
図６に、境界要素情報の一例を示す。図６の境界要素情報は、要素ＩＤ（この例では境界要素識別番号ｉ）と、形状コードと、構成節点を対応付けたテーブル構成となっている。なお、形状コードは、境界要素の形状を示すものである。形状コードは、１：点要素、２：線要素、３：三角形要素、４：四角形要素のように定義する。また、構成節点として記述したＸ１、Ｘ２等は、節点ＩＤを示す。
【００３１】
図７に、節点情報の一例を示す。図７の節点情報は、節点ＩＤと節点の座標値を対応付けたテーブル構成となっている。
【００３２】
なお、入力データの記録は、以上説明したデータ構造で入力してもよいが、一端、入力データを記憶し、さらにデータ構造を変更する処理を行ってもよい。例えば、従来と同様、要素毎に境界条件情報と幾何的情報を対応付け構造のデータを入力し、それらの境界値（状態量）が一致するものをまとめることによって、上記した状態量情報を作成するようにしてもよい。
【００３３】
例えば、図１２に示すような軸対称分布を持つ柱状の解析対象の境界要素定義情報及び状態量情報を記憶する場合、次のような手順で行う。この解析対象の状態量は、周方向で同じ値を持ち、軸方向で値が分布するものとする。まず、図１２（ａ）に示すような軸方向に分割した部分対象について要素分割を行い、それぞれの要素に要素番号を付与する。次いで、図１２（ａ）の要素を回転、コピー操作を複数回行い、図１２（ｂ）に示すような解析対象の境界要素を得る。このときの境界要素は、同じ要素番号、同じ節点番号となるので、節点座標等のデータは、部分対象毎に記憶しておく。このような処理は、汎用の要素分割ソフトを利用して行うことができる。
【００３４】
次いで、生成した全データを読み込み、同じ座標値の節点をまとめ、それぞれに対して節点ＩＤを全体の通し番号で付与する。部分対象毎に記憶された境界要素は、同じ要素番号を持つものが同じ状態量を有するので、同じ要素番号を持つ要素をまとめ、それに対して状態量を定義し、状態量に複数の境界要素を対応付け、同様の操作を全ての境界要素について行う。そして、全ての境界要素に対して全体の通し番号で要素ＩＤを振り直す。
【００３５】
図１２（ｃ）に、要素ＩＤを振り直した解析対象を示す。図１２（ｃ）における要素ＩＤが１〜１６の境界要素は、同一の状態量（状態量１）を有し、要素ＩＤが１７〜３２の境界要素は、同じ状態量（状態量２）を有するので、状態量１に対して要素ＩＤが１〜１６の境界要素を対応付け、状態量２に対して要素ＩＤが１７〜３２の境界要素を対応付けた状態量情報を記憶する。また、境界要素ＩＤに対して節点ＩＤを対応付け、さらに節点ＩＤに対して節点座標を対応付けた境界要素定義情報を記憶する。
【００３６】
続いて、図１のステップＳ１０３に示す境界積分方程式の生成について説明する。図２に、境界積分方程式生成処理の概略フローを示す。
【００３７】
ステップＳ２０１では、境界要素識別番号ｉの初期設定を行い、ステップＳ２０２では、状態量識別番号ｋの初期設定を行う。初期設定値は、ともに「１」である。そして、ステップＳ２０３で、マトリックス係数Ｈik、Ｇikを生成する。マトリックス係数Ｈik、Ｇikは、（式４）で示す離散化された境界積分方程式の係数マトリックス［Ｈ］、［Ｇ］の各要素の値である。
【００３８】
【数４】
【００３９】
図３に、マトリックス係数生成処理の概略フローを示す。ステップＳ３０１では、状態量情報を参照して、状態量識別番号ｋに対応して記憶された構成要素Ｐjを抽出する。例えば、図５に示す例でｋ＝１の場合は、構成要素Ｐ１とＰ２が抽出される。ここで、構成要素Ｐ１とＰ２の境界要素識別番号ｉは、それぞれ１と２であるとする。
【００４０】
ステップＳ３０２では、境界要素識別情報ｉを持つ境界要素Ｐiをソース点とし、境界要素Ｐjを観測点とした時の係数値ｈij、ｇijを、全てのＰjについて算出する。係数値ｈij、ｇijは、解析対象の形状、解析対象場によって定まる係数であり、境界要素情報を利用して求めることができる。例えば、図５に示す例でｋ＝１の場合、構成要素Ｐ１とＰ２が抽出されるので、ｉ＝１とすれば、係数値ｈ11、ｇ11、ｈ12、ｇ12を算出する。
【００４１】
ステップＳ３０３では、算出した係数値ｈij、ｇijをそれぞれ加算する。例えば、係数値ｈ11、ｇ11、ｈ12、ｇ12が算出されたとすると、ｈ11＋ｈ12とｇ11＋ｇ12を求める。そして、ステップＳ３０４で加算値をマトリックス係数Ｈik、Ｇikとして記憶する。
【００４２】
図２に戻って、ステップＳ２０３でマトリックス係数Ｈik、Ｇikが生成されると、ｋを＋１加算し（ステップＳ２０４）、ｋ＞Ｎｇかどうかを判断する（ステップＳ２０５）。そして、ｋ＞Ｎｇでない場合には、ステップＳ２０３を繰り返し行う。ここで、Ｎｇは記憶された状態量情報の数であるので、定義された状態量の数分のマトリックス係数Ｈik、Ｇikが生成される。
【００４３】
ステップＳ２０５で、ｋ＞Ｎｇと判断されると、ｉを＋１加算し（ステップＳ２０６）、ｉ＞Ｌかどうかを判断する（ステップＳ２０７）。そして、ｉ＞Ｌでない場合には、ステップＳ２０２以降の処理を繰り返し行う。ここで、Ｌは状態量情報の数Ｎｇ以上であって定義された境界要素の数以下の任意の数である。図１のステップ１０４における連立方程式の演算に際して、少なくともＮｇ個の方程式が得られれば解が求められるので、Ｌ＝Ｎｇとすれば十分である。Ｌ＞Ｎｇとして最小二乗法を使用して解くことにより、精度を向上させることもできる。ソース点を同一状態量の境界要素について走査させてそれぞれマトリックス係数を計算し，その平均を境界積分方程式のマトリックス係数とすることも可能であり、この方法も精度が向上する。
【００４４】
なお、この例では、Ｌ個の境界要素をソース点とするに際して、境界要素識別番号ｉを１からの順にＬまで選択したが、選択する境界要素は任意であり、これに限らない。例えば境界要素の数の半分をソース点とする場合は、１つ置きの境界要素識別番号ｉを有する境界要素を選択するようにしてもよい。以上説明から明らかなように、このような処理によって求めた係数値を有する境界積分方程式は、マトリックス表示を用いないで記述すると、上記（式３）に示すようなものとなる。
【００４５】
以上説明した手順で生成された境界積分方程式は、Ｌ行Ｎｇ列の係数マトリックスを有する。解析対象の対称性がどのようなものであっても、状態量の数を減少させた境界積分方程式を簡単に生成することができる。
【００４６】
次に、具体例に基づいて境界積分方程式の生成処理を説明する。図８に、４つの境界要素［１］〜［４］からなる解析対象の一例を示す。図８の解析対象は、対称軸の両側に２つずつの境界要素［１］と［３］、及び［２］と［４］を有し、境界要素［１］と［２］、及び［３］と［４］は、それぞれ等しい状態量を持つ。
【００４７】
解析対象が図８に示すようなものである場合、記憶される状態量情報、境界要素情報、節点情報は、それぞれ図９、図１０、図１１に示すものとなる。
【００４８】
今、状態量ＩＤが「１」の要素の状態量をｕ１、ｑ１、状態量ＩＤが「２」の要素の状態量を状態量をｕ２、ｑ２とし、ソース点とする境界要素の要素ＩＤを「１」及び「３」として、図２、図３に示すフローの処理を行うと、次に示すように２×２の係数マトリックスを有する境界積分方程式が得られる。
【００４９】
すなわち、ｉ＝１、ｋ＝１の時のマトリックス係数値は、ｈ11＋ｈ12とｇ11＋ｇ12となり、ｉ＝１、ｋ＝２の時のマトリックス係数値は、ｈ13＋ｈ14とｇ13＋ｇ14となる。また、ｉ＝３、ｋ＝１の時のマトリックス係数値は、ｈ31＋ｈ32とｇ31＋ｇ32となり、ｉ＝３、ｋ＝２の時のマトリックス係数値は、ｈ33＋ｈ34とｇ33＋ｇ34となる。したがって、生成される境界積分方程式は、（式５）に示すものとなる。
【００５０】
【数５】
【図面の簡単な説明】
【００５１】
【図１】本発明の実施の形態の境界要素解析方法の概略フローを示す図
【図２】本発明の実施の形態の境界要素解析方法における境界積分方程式生成処理の概略フローを示す図
【図３】本発明の実施の形態の境界要素解析方法におけるマトリックス係数生成処理の概略フローを示す図
【図４】本発明の実施の形態の境界要素解析方法における入力データのデータ構造の一例を示す図
【図５】本発明の実施の形態の境界要素解析方法における状態量情報の一例を示す図
【図６】本発明の実施の形態の境界要素解析方法における境界要素情報の一例を示す図
【図７】本発明の実施の形態の境界要素解析方法における節点情報の一例を示す図
【図８】解析対象の一例を示す図
【図９】図８に示す解析対象の状態量情報を示す図
【図１０】図８に示す解析対象の境界要素情報を示す図
【図１１】図８に示す解析対象の節点情報を示す図
【図１２】本発明の実施の形態の境界要素解析方法における境界要素定義情報及び状態量情報の記憶処理の一例を示す図
【技術分野】
【０００１】
本発明は、コンピュータを用いて境界要素解析を行う境界要素解析方法、及び境界要素解析プログラムに関する。
【背景技術】
【０００２】
計算機性能の飛躍的向上により、従来模型や実機を用いていた実験を数値解析手法によるシミュレーションに置き換える動きが盛んになっている。これに伴い、要求される解析の規模とスピードは計算機の進歩をさらに上回る速度で増大している。
【０００３】
数値解析手法のうち、境界要素法は応力場、電場、磁場、腐食場などの解析に有利であり、これまでにも多くの使用例がある。通常の境界要素法に従えば、支配方程式は境界積分方程式に変換される。すなわち、境界を複数の要素に離散化し、各要素上にある要素点における境界値を変数とした（式１）のような離散化された境界積分方程式が得られる。
【０００４】
【数１】
【０００５】
ここで、［Ｈ］及び［Ｇ］は、解析場の幾何的および材料的条件で決まるマトリックスである。また、｛ｕ｝及び｛ｑ｝は、境界値を表す。例えば応力解析の場合、｛ｕ｝が変位、｛ｑ｝が表面力となり、電場解析の場合、｛ｕ｝が電位、｛ｑ｝が電流密度となる。
【０００６】
（式１）に境界条件を代入し、未知数を整理すると、（式２）のような連立方程式が得られる。
【０００７】
【数２】
【０００８】
ここで、｛ｘ｝及び｛ｂ｝は、それぞれ未知ベクトル及び定数ベクトルである。未知数の数は要素点の数に対応する。幾何学的、材質的変化の極めて多い実際の複雑構造物等の解析を行うためには、膨大な数の要素が必要となり、このような大規模な解析においては、未知数の数も膨大となる。
【０００９】
一般に、解析の対象となる工業製品や各種構造物等においては、形状および境界条件に対称性をもつものが少なくない。与えられた問題が対称な問題であれば、対称性を利用した効率的な離散化が可能となる。ここで、対称な問題とは物体の形状及び境界条件に関して、対称軸もしくは対称面が存在する問題である。対称な位置にある要素点の境界値は同じ値になるので、数値解析を行うに際して、この対称性を利用できれば、未知数の数を大幅に減じることができる。
【００１０】
解析対象の対称性を考慮したモデル化を行って、境界要素解析の効率化を図ったものは、例えば特許文献１、被特許文献１に示されている。
【００１１】
しかし、対称には、面対称、逆対称、軸対称、ヘリカル対称、ショートケーキ対称、それらが複合したもの等があり、対称問題は多様なものとなる。対称性が多様であると、鏡像の生成法、生成すべき鏡像の数等が個々の対称の場合で異なるために、それぞれの場合に対してプログラムを構成しなければならない。さらに、実際の解析対象は、複数種類の対称が混在している場合もあり、このような対称性混在の問題の場合をも考えると、対応すべきケースの数は増大し、プログラムの保守および拡張性の点で大きな問題点となる。
【００１２】
【特許文献１】特開平９−２５１４８１号公報
【非特許文献１】材料と環境、Vol.47，No.３，P.156-163（1988）
【発明の開示】
【発明が解決しようとする課題】
【００１３】
本発明は、上記事情に鑑みなされたもので、解析対象の対称性を利用した解析を行うに際して、対称性の多様性に対しても対応可能で、効率的な解析を行うことができる境界要素解析方法及び境界要素解析プログラムを提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【００１４】
本発明の境界要素解析方法は、コンピュータを用いて境界要素解析を行うものであって、前記境界要素解析に使用するデータを入力するデータ入力ステップと、前記データ入力ステップで入力したデータを記憶するデータ記憶ステップと、前記データ記憶ステップで記憶したデータに基づき、離散化された境界積分方程式を生成する方程式生成ステップと、前記境界積分方程式に前記データ入力ステップで入力された境界条件を代入後、前記境界積分方程式の未知数を演算する解析ステップとを備え、前記データ記憶ステップは、少なくとも、解析対象の境界要素を定義する境界要素定義情報と、前記境界要素の状態量に対して当該状態量を有する１又は複数の前記境界要素を識別する境界要素識別情報を関連付けた状態量情報と、を記憶するものであり、前記方程式生成ステップは、前記状態量情報で定義された数の状態量を有する前記境界積分方程式を生成するものである。
【００１５】
本発明によれば、未知数を減少させた境界積分方程式を簡単に生成することができ、未知数を求めるための演算量を減少させることができる。また、解析対象の対称性の多様性に対しても対応可能で、効率的な解析を行うことができる。
【００１６】
本発明の境界要素解析方法は、前記方程式生成ステップが、境界要素識別情報ｉ（ｉ＝１〜Ｌ，Ｌはソース点の総数であり、前記状態量情報の数Ｎｇ以上であって定義された境界要素の数以下の任意の数）を持つ境界要素をソース点とし、前記状態量情報の各状態量を識別する状態量識別情報ｋ（ｋ＝１〜Ｎｇ）に対応付けられた境界要素それぞれを観測点とした時の、解析対象の形状によって定まる係数値の和を、前記境界要素定義情報及び前記状態量情報を参照して演算するステップと、前記求めた和をｉ行ｋ列の係数値とするＬ行Ｎｇ列の係数マトリックスを生成するステップを含み、前記Ｌ行Ｎｇ列の係数マトリックスを前記境界積分方程式の係数マトリックスとするものを含む。
【００１７】
本発明によれば、記憶した境界要素定義情報及び状態量情報を参照して、同様の演算を繰り返し行うことにより、境界積分方程式の係数マトリックスの係数値を求めることができ、解析演算を効率的に行うことができる。
【００１８】
なお、このような処理によって求めた係数値を有する境界積分方程式は、マトリックス表示を用いないで記述すると、次の（式３）に示すようなものとなる。なお、ここでＬはソース点を走査させる要素数（要素のサブセット）、Ｎｇは総状態量数、Ｓｋは状態量ｋを持つ境界要素の集合を表し、ｕ＊、ｑ＊はポテンシャル、フラックスの状態量を表す。
【００１９】
【数３】
【００２０】
本発明の境界要素解析プログラムは、上記した境界要素解析情報における各ステップを、コンピュータを用いて実行させるためのプログラムである。
【発明の効果】
【００２１】
以上の説明から明らかなように、本発明によれば、解析対象の対称性を利用した解析を行うに際して、対称性の多様性に対しても対応可能で、効率的な解析を行うことができる境界要素解析方法及び境界要素解析プログラムを提供することができる。
【発明を実施するための最良の形態】
【００２２】
以下、本発明の実施の形態について、図面を用いて説明する。図１は、本発明の実施の形態の境界要素解析方法の概略フローを示す図である。図１に示す各ステップは、所定のプログラムがインストールされたコンピュータによって実行される。なお、使用するコンピュータは、スタンドアローンのコンピュータでも、クライアント／サーバ形式のコンピュータでもよく、また、特別の周辺機器、機能等の付加も必要としない。したがって、通常のコンピュータを利用できるので、コンピュータの構成については説明を省略する。
【００２３】
ステップＳ１０１では、境界要素解析に使用する各種データを入力する。入力するデータには、境界要素を定義するための節点に関する情報、各境界要素を定義する節点を識別する情報を含む境界要素に関する情報、各境界要素が持つ状態量に関する情報、境界条件、解析対象固有の定数データ、解析対象の各変数（状態量を含む。）相互間の関数等が含まれる。
【００２４】
ステップＳ１０２では、ステップＳ１０１で入力した各種データを記憶する。ここでは、少なくとも、解析対象の境界要素を定義する境界要素定義情報と、境界要素の状態量毎に定義された境界要素を識別する境界要素識別情報を対応付けた状態量情報が記憶される。記憶されるデータの内容、形式等については後述する。
【００２５】
ステップＳ１０３では、入力された各種データを利用して、定義された各境界要素上にある要素点における境界値を変数とする離散化された境界積分方程式を生成する。ここで生成される境界積分方程式は、状態量情報で定義された数の状態量を変数として有するものである。生成方法の詳細については後述する。
【００２６】
ステップＳ１０４では、生成された境界積分方程式に入力された境界条件を代入し、未知数を整理して連立方程式を得る。そして、得られた連立方程式を解いて未知数の値を求める。このステップＳ１０４の処理は、従来の境界要素解析と同様であるので説明を省略する。ただし、生成された境界積分方程式の状態量の数が、従来の解析対象の対称性を考慮しない解析方法では、定義した境界要素の数であるのに対し、この実施の形態の解析方法では、定義した状態量の数であるので、解析のための計算量は大きく減少する。
【００２７】
次に、図１のステップＳ１０２で記憶されるデータの内容、形式について説明する。図４に、この実施の形態の境界要素解析方法における入力データのデータ構造の一例を示す。図４に示すように、境界値およびその関数が表す量を状態量として定義する。そして、定義した状態量を識別する状態量識別情報（状態量ＩＤ）と境界条件、及びその状態量を有する境界要素（構成要素）が対応付けられ、状態量情報１として記憶される。
【００２８】
境界要素は、それぞれを識別する境界要素識別情報（要素ＩＤ）とその境界要素を構成する節点（構成節点）及びその境界要素の形状によって定義され、境界要素情報２として記憶される。さらに、節点は、それぞれを識別する節点識別情報（節点ＩＤ）とその座標が対応付けられ、節点情報３として記憶される。したがって、境界要素情報２と節点情報３によって境界要素の形状データを認識することができる。
【００２９】
図５に、状態量情報の一例を示す。図５は、状態量ＩＤと構成要素との関係のみを示したものであり、状態量ＩＤ（この例では状態量識別番号ｋ）と、要素数と、構成要素を対応付けたテーブル構成となっている。なお、図５において、要素数は、その状態量ＩＤを有する構成要素の数を意味し、構成要素として記述したＰ１、Ｐ２等は、要素ＩＤを示す。
【００３０】
図６に、境界要素情報の一例を示す。図６の境界要素情報は、要素ＩＤ（この例では境界要素識別番号ｉ）と、形状コードと、構成節点を対応付けたテーブル構成となっている。なお、形状コードは、境界要素の形状を示すものである。形状コードは、１：点要素、２：線要素、３：三角形要素、４：四角形要素のように定義する。また、構成節点として記述したＸ１、Ｘ２等は、節点ＩＤを示す。
【００３１】
図７に、節点情報の一例を示す。図７の節点情報は、節点ＩＤと節点の座標値を対応付けたテーブル構成となっている。
【００３２】
なお、入力データの記録は、以上説明したデータ構造で入力してもよいが、一端、入力データを記憶し、さらにデータ構造を変更する処理を行ってもよい。例えば、従来と同様、要素毎に境界条件情報と幾何的情報を対応付け構造のデータを入力し、それらの境界値（状態量）が一致するものをまとめることによって、上記した状態量情報を作成するようにしてもよい。
【００３３】
例えば、図１２に示すような軸対称分布を持つ柱状の解析対象の境界要素定義情報及び状態量情報を記憶する場合、次のような手順で行う。この解析対象の状態量は、周方向で同じ値を持ち、軸方向で値が分布するものとする。まず、図１２（ａ）に示すような軸方向に分割した部分対象について要素分割を行い、それぞれの要素に要素番号を付与する。次いで、図１２（ａ）の要素を回転、コピー操作を複数回行い、図１２（ｂ）に示すような解析対象の境界要素を得る。このときの境界要素は、同じ要素番号、同じ節点番号となるので、節点座標等のデータは、部分対象毎に記憶しておく。このような処理は、汎用の要素分割ソフトを利用して行うことができる。
【００３４】
次いで、生成した全データを読み込み、同じ座標値の節点をまとめ、それぞれに対して節点ＩＤを全体の通し番号で付与する。部分対象毎に記憶された境界要素は、同じ要素番号を持つものが同じ状態量を有するので、同じ要素番号を持つ要素をまとめ、それに対して状態量を定義し、状態量に複数の境界要素を対応付け、同様の操作を全ての境界要素について行う。そして、全ての境界要素に対して全体の通し番号で要素ＩＤを振り直す。
【００３５】
図１２（ｃ）に、要素ＩＤを振り直した解析対象を示す。図１２（ｃ）における要素ＩＤが１〜１６の境界要素は、同一の状態量（状態量１）を有し、要素ＩＤが１７〜３２の境界要素は、同じ状態量（状態量２）を有するので、状態量１に対して要素ＩＤが１〜１６の境界要素を対応付け、状態量２に対して要素ＩＤが１７〜３２の境界要素を対応付けた状態量情報を記憶する。また、境界要素ＩＤに対して節点ＩＤを対応付け、さらに節点ＩＤに対して節点座標を対応付けた境界要素定義情報を記憶する。
【００３６】
続いて、図１のステップＳ１０３に示す境界積分方程式の生成について説明する。図２に、境界積分方程式生成処理の概略フローを示す。
【００３７】
ステップＳ２０１では、境界要素識別番号ｉの初期設定を行い、ステップＳ２０２では、状態量識別番号ｋの初期設定を行う。初期設定値は、ともに「１」である。そして、ステップＳ２０３で、マトリックス係数Ｈik、Ｇikを生成する。マトリックス係数Ｈik、Ｇikは、（式４）で示す離散化された境界積分方程式の係数マトリックス［Ｈ］、［Ｇ］の各要素の値である。
【００３８】
【数４】
【００３９】
図３に、マトリックス係数生成処理の概略フローを示す。ステップＳ３０１では、状態量情報を参照して、状態量識別番号ｋに対応して記憶された構成要素Ｐjを抽出する。例えば、図５に示す例でｋ＝１の場合は、構成要素Ｐ１とＰ２が抽出される。ここで、構成要素Ｐ１とＰ２の境界要素識別番号ｉは、それぞれ１と２であるとする。
【００４０】
ステップＳ３０２では、境界要素識別情報ｉを持つ境界要素Ｐiをソース点とし、境界要素Ｐjを観測点とした時の係数値ｈij、ｇijを、全てのＰjについて算出する。係数値ｈij、ｇijは、解析対象の形状、解析対象場によって定まる係数であり、境界要素情報を利用して求めることができる。例えば、図５に示す例でｋ＝１の場合、構成要素Ｐ１とＰ２が抽出されるので、ｉ＝１とすれば、係数値ｈ11、ｇ11、ｈ12、ｇ12を算出する。
【００４１】
ステップＳ３０３では、算出した係数値ｈij、ｇijをそれぞれ加算する。例えば、係数値ｈ11、ｇ11、ｈ12、ｇ12が算出されたとすると、ｈ11＋ｈ12とｇ11＋ｇ12を求める。そして、ステップＳ３０４で加算値をマトリックス係数Ｈik、Ｇikとして記憶する。
【００４２】
図２に戻って、ステップＳ２０３でマトリックス係数Ｈik、Ｇikが生成されると、ｋを＋１加算し（ステップＳ２０４）、ｋ＞Ｎｇかどうかを判断する（ステップＳ２０５）。そして、ｋ＞Ｎｇでない場合には、ステップＳ２０３を繰り返し行う。ここで、Ｎｇは記憶された状態量情報の数であるので、定義された状態量の数分のマトリックス係数Ｈik、Ｇikが生成される。
【００４３】
ステップＳ２０５で、ｋ＞Ｎｇと判断されると、ｉを＋１加算し（ステップＳ２０６）、ｉ＞Ｌかどうかを判断する（ステップＳ２０７）。そして、ｉ＞Ｌでない場合には、ステップＳ２０２以降の処理を繰り返し行う。ここで、Ｌは状態量情報の数Ｎｇ以上であって定義された境界要素の数以下の任意の数である。図１のステップ１０４における連立方程式の演算に際して、少なくともＮｇ個の方程式が得られれば解が求められるので、Ｌ＝Ｎｇとすれば十分である。Ｌ＞Ｎｇとして最小二乗法を使用して解くことにより、精度を向上させることもできる。ソース点を同一状態量の境界要素について走査させてそれぞれマトリックス係数を計算し，その平均を境界積分方程式のマトリックス係数とすることも可能であり、この方法も精度が向上する。
【００４４】
なお、この例では、Ｌ個の境界要素をソース点とするに際して、境界要素識別番号ｉを１からの順にＬまで選択したが、選択する境界要素は任意であり、これに限らない。例えば境界要素の数の半分をソース点とする場合は、１つ置きの境界要素識別番号ｉを有する境界要素を選択するようにしてもよい。以上説明から明らかなように、このような処理によって求めた係数値を有する境界積分方程式は、マトリックス表示を用いないで記述すると、上記（式３）に示すようなものとなる。
【００４５】
以上説明した手順で生成された境界積分方程式は、Ｌ行Ｎｇ列の係数マトリックスを有する。解析対象の対称性がどのようなものであっても、状態量の数を減少させた境界積分方程式を簡単に生成することができる。
【００４６】
次に、具体例に基づいて境界積分方程式の生成処理を説明する。図８に、４つの境界要素［１］〜［４］からなる解析対象の一例を示す。図８の解析対象は、対称軸の両側に２つずつの境界要素［１］と［３］、及び［２］と［４］を有し、境界要素［１］と［２］、及び［３］と［４］は、それぞれ等しい状態量を持つ。
【００４７】
解析対象が図８に示すようなものである場合、記憶される状態量情報、境界要素情報、節点情報は、それぞれ図９、図１０、図１１に示すものとなる。
【００４８】
今、状態量ＩＤが「１」の要素の状態量をｕ１、ｑ１、状態量ＩＤが「２」の要素の状態量を状態量をｕ２、ｑ２とし、ソース点とする境界要素の要素ＩＤを「１」及び「３」として、図２、図３に示すフローの処理を行うと、次に示すように２×２の係数マトリックスを有する境界積分方程式が得られる。
【００４９】
すなわち、ｉ＝１、ｋ＝１の時のマトリックス係数値は、ｈ11＋ｈ12とｇ11＋ｇ12となり、ｉ＝１、ｋ＝２の時のマトリックス係数値は、ｈ13＋ｈ14とｇ13＋ｇ14となる。また、ｉ＝３、ｋ＝１の時のマトリックス係数値は、ｈ31＋ｈ32とｇ31＋ｇ32となり、ｉ＝３、ｋ＝２の時のマトリックス係数値は、ｈ33＋ｈ34とｇ33＋ｇ34となる。したがって、生成される境界積分方程式は、（式５）に示すものとなる。
【００５０】
【数５】
【図面の簡単な説明】
【００５１】
【図１】本発明の実施の形態の境界要素解析方法の概略フローを示す図
【図２】本発明の実施の形態の境界要素解析方法における境界積分方程式生成処理の概略フローを示す図
【図３】本発明の実施の形態の境界要素解析方法におけるマトリックス係数生成処理の概略フローを示す図
【図４】本発明の実施の形態の境界要素解析方法における入力データのデータ構造の一例を示す図
【図５】本発明の実施の形態の境界要素解析方法における状態量情報の一例を示す図
【図６】本発明の実施の形態の境界要素解析方法における境界要素情報の一例を示す図
【図７】本発明の実施の形態の境界要素解析方法における節点情報の一例を示す図
【図８】解析対象の一例を示す図
【図９】図８に示す解析対象の状態量情報を示す図
【図１０】図８に示す解析対象の境界要素情報を示す図
【図１１】図８に示す解析対象の節点情報を示す図
【図１２】本発明の実施の形態の境界要素解析方法における境界要素定義情報及び状態量情報の記憶処理の一例を示す図
【特許請求の範囲】
【請求項１】
コンピュータを用いて境界要素解析を行う境界要素解析方法であって、
前記境界要素解析に使用するデータを入力するデータ入力ステップと、
前記データ入力ステップで入力したデータを記憶するデータ記憶ステップと、
前記データ記憶ステップで記憶したデータに基づき、離散化された境界積分方程式を生成する方程式生成ステップと、
前記境界積分方程式に前記データ入力ステップで入力された境界条件を代入後、前記境界積分方程式の未知数を演算する解析ステップとを備え、
前記データ記憶ステップは、少なくとも、解析対象の境界要素を定義する境界要素定義情報と、前記境界要素の状態量に対して当該状態量を有する１又は複数の前記境界要素を識別する境界要素識別情報を関連付けた状態量情報と、を記憶するものであり、
前記方程式生成ステップは、前記状態量情報で定義された数の状態量を有する前記境界積分方程式を生成するものである境界要素解析方法。
【請求項２】
前記方程式生成ステップは、
境界要素識別情報ｉ（ｉ＝１〜Ｌ，Ｌはソース点の総数であり、前記状態量情報の数Ｎｇ以上であって定義された境界要素の数以下の任意の数）を持つ境界要素をソース点とし、前記状態量情報の各状態量を識別する状態量識別情報ｋ（ｋ＝１〜Ｎｇ）に対応付けられた境界要素それぞれを観測点とした時の、解析対象の形状によって定まる係数値の和を、前記境界要素定義情報及び前記状態量情報を参照して演算するステップと、
前記求めた和をｉ行ｋ列の係数値とするＬ行Ｎｇ列の係数マトリックスを生成するステップを含み、
前記Ｌ行Ｎｇ列の係数マトリックスを前記境界積分方程式の係数マトリックスとする境界要素解析方法。
【請求項３】
コンピュータを用いて、請求項１又は２記載の境界要素解析方法における各ステップを実行させるための境界要素解析プログラム。
【請求項１】
コンピュータを用いて境界要素解析を行う境界要素解析方法であって、
前記境界要素解析に使用するデータを入力するデータ入力ステップと、
前記データ入力ステップで入力したデータを記憶するデータ記憶ステップと、
前記データ記憶ステップで記憶したデータに基づき、離散化された境界積分方程式を生成する方程式生成ステップと、
前記境界積分方程式に前記データ入力ステップで入力された境界条件を代入後、前記境界積分方程式の未知数を演算する解析ステップとを備え、
前記データ記憶ステップは、少なくとも、解析対象の境界要素を定義する境界要素定義情報と、前記境界要素の状態量に対して当該状態量を有する１又は複数の前記境界要素を識別する境界要素識別情報を関連付けた状態量情報と、を記憶するものであり、
前記方程式生成ステップは、前記状態量情報で定義された数の状態量を有する前記境界積分方程式を生成するものである境界要素解析方法。
【請求項２】
前記方程式生成ステップは、
境界要素識別情報ｉ（ｉ＝１〜Ｌ，Ｌはソース点の総数であり、前記状態量情報の数Ｎｇ以上であって定義された境界要素の数以下の任意の数）を持つ境界要素をソース点とし、前記状態量情報の各状態量を識別する状態量識別情報ｋ（ｋ＝１〜Ｎｇ）に対応付けられた境界要素それぞれを観測点とした時の、解析対象の形状によって定まる係数値の和を、前記境界要素定義情報及び前記状態量情報を参照して演算するステップと、
前記求めた和をｉ行ｋ列の係数値とするＬ行Ｎｇ列の係数マトリックスを生成するステップを含み、
前記Ｌ行Ｎｇ列の係数マトリックスを前記境界積分方程式の係数マトリックスとする境界要素解析方法。
【請求項３】
コンピュータを用いて、請求項１又は２記載の境界要素解析方法における各ステップを実行させるための境界要素解析プログラム。
【図１】
【図２】
【図３】
【図４】
【図５】
【図６】
【図７】
【図８】
【図９】
【図１０】
【図１１】
【図１２】
【図２】
【図３】
【図４】
【図５】
【図６】
【図７】
【図８】
【図９】
【図１０】
【図１１】
【図１２】
【公開番号】特開２００６−１８３９３（Ｐ２００６−１８３９３Ａ）
【公開日】平成１８年１月１９日（２００６．１．１９）
【国際特許分類】
【出願番号】特願２００４−１９３３２９（Ｐ２００４−１９３３２９）
【出願日】平成１６年６月３０日（２００４．６．３０）
【出願人】（００００００２３９）株式会社荏原製作所 (1,477)
【出願人】（５０４２５３２５６）
【Ｆターム（参考）】
【公開日】平成１８年１月１９日（２００６．１．１９）
【国際特許分類】
【出願日】平成１６年６月３０日（２００４．６．３０）
【出願人】（００００００２３９）株式会社荏原製作所 (1,477)
【出願人】（５０４２５３２５６）
【Ｆターム（参考）】
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